Full text: Wirtschaft und Gesellschaft - 2008 Heft 3 (3)

Wirtschaft und Gesellschaft 34. Jahrgang (2008), Heft 3 364 Gleichungssysteme als Matrizen aufzufassen.1 Der Ungleichzeitigkeit der Entwicklung in den Einzelwissenschaften ist es zuzurechnen, dass die Anwendung der Matrizenrechnung in den Wirtschaftswissenschaften erst in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts die Lehrbücher erobern konn- te. Selbst Leontief (1951) verwendete in den ersten Beschreibungen sei- ner Methode noch nicht die heute übliche formale Matrizenschreibweise, obwohl er die Tabelle der Technischen Koeffizienten schon Input-Output- Matrix nannte, ohne sie aber explizit in einer Formel als Matrix anzuschrei- ben. In einem Artikel aus dem Jahr 1956 benützte Leontief schon Mat- rixnotation, wenn auch nur im Anhang.2 Damit begann eine stürmische Entwicklung und eine rasche Verbreitung der Input-Output-Analyse, auch und vor allem, als sie mit linearen Optimierungsverfahren verknüpft wurde (siehe z. B. Dorfman, Samuelson, Solow (1958)), die für betriebliche oder volkswirtschaftliche Bereiche wichtig waren. Interessant waren nicht nur empirische Anwendungen der Input-Output- Analyse, sondern auch ihre Verwendung als Hilfsmittel der Theoriebildung. So lässt sich eine theoretische Matrix von technischen Koeffizienten unter der Annahme konstruieren, dass man einzelne Güter mit gleichen Preisen isolieren und einzelnen Unternehmen als ihr einziges Produkt zurechnen könnte. Dann kann man die (quadratische) Matrix A mit dem Output x und der Endnachfrage y (beides Spaltenvektoren von gleicher Länge wie die Seitenlänge der Matrix A) wie folgt verknüpfen: Ax + y = x (1) Diese Gleichung ermöglicht es, bei gegebener Matrix A und gegebener Brutto-Produktionsmenge x die Endnachfrage y zu berechnen, wobei E die Einheitsmatrix bedeuten soll, die ausschließlich Einsen in der Haupt- diagonale besitzt und sonst nur Nullen: y = x – Ax = (E – A)x, und umgekehrt bei gegebener Endnachfrage y den zu ihrer Erzeugung notwendigen Output x zu bestimmen: x = (E – A)-1y 1a) Die Matrix (E – A)-1 ist in die Wissenschaftsgeschichte als Leontief-In- verse eingegangen. Leontief wies im Jahre 1951 auf die Schwierigkeiten der Berechnung der Variablen des Gleichungssystems mit 42 Sektoren der U.S.-Wirtschaft hin. Der Harvard Mark II-Computer benötigte für die Lösung satte 56 Stunden.3 Heute kann ein üblicher Laptop derartige Be- rechnungen in Bruchteilen einer Sekunde durchführen. Die Formulierung eines Input-Output-Modells in Gleichung (1) wird üb- licherweise primales Problem genannt. Es gilt gleichzeitig auch die so genannte duale Formulierung für die Beziehungen zwischen den Stück-

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.